Variedades Diferenciais - Eletromagnetismo III

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Problema: Pull Back

Sejam $M$ e $N$ variedades diferenciais de dimensões $m$ e $n$ respectivamente. Suponha $g: M\mapsto N$ uma aplicação suave. A aplicação $g^\star: \Omega(N) \mapsto \Omega(M)$ que mapeia as formas de $N$ nas formas de $M$ é chamada de pullback de $g$ e satisfaz:

1.Se $f: N \mapsto \mathrm{R}$ é função sobre $N$ :

g^\star f = f \circ g

(10)

2.Se $\eta, \omega \in \Omega_p(N)$ :

g^\star (\eta \wedge \omega) = (g^\star \eta) (g^\star \omega)

(11)

3.Se $\omega \in \Omega_p(N)$ :

g^\star (d\omega) = d(g^\star \omega)

(12)

Procure se convencer de que a primeira propriedade define o pullback das 0-formas.
Considerando coordenadas $y^i$ em $N$ e $x^i$ em $M$ , se convença de que:

g^\star (dy^i) (x) = d(y^i\circ g)(x) \Rightarrow \\ g^\star \omega(x) = \omega(g(x))_{i_1\cdots i_k} dg^{i_1}\wedge \cdots dg^{i_k}

(13)

Agora, demonstre que esta definição satisfaz a propriedade 2.
Demonstre que esta definição satisfaz a propriedade 3.
COnsidere o caso em que $M$ e $N$ são idênticos e considere o pullback atuando na forma de volume. Qual é o resultado?
Seja $U = (0, \infty) \times (0, 2\pi)$ , $V=\mathbb{R}^2-{\textrm{eixo x não negativo}}$ . Use coordenadas $(r, \theta)$ para $U$ e $(x, y)$ para $V$ . Considere a aplicação $g(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ . Considere $h=g^{-1}$ . Finalmente, sobre $V$ considere a forma $\omega = e^{x^2 + y^2} dx \wedge dy$ :
1. Calcule $g^\star(x), g^\star(y), g^\star(dx), g^\star(dy), g^\star(dx \wedge dy), g^\star \omega$ .
2. Calcule $h^\star(r), h^\star(\theta), h^\star(dr), h^\star(d\theta)$ .

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1.0.7Variedades Diferenciais

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