Skip to article frontmatterSkip to article content

1.0.3Equações de Maxwell

Universidade Federal de Campina Grande

Algumas pessoas adquirem sua compreensão do mundo por meio de símbolos e matemática. Outras adquirem sua compreensão por meio da geometria pura e do espaço. Há outras que encontram uma aceleração no esforço muscular que lhes é imposto na compreensão, ao sentir a força dos objetos que se movem pelo mundo. O que elas desejam são palavras de poder que comovam suas almas como a lembrança da infância. Para o bem de pessoas desses diferentes tipos, quer queiram a palidez e a tenuidade do simbolismo matemático, quer queiram os aspectos robustos desse engajamento muscular, devemos apresentar todas essas maneiras. É a combinação delas que nos dá o melhor acesso à verdade. James Clerck Maxwell

I saw that it was great, greater and greatest ... I was determined to master the book and set to work. Oliver Heaviside

Isaac Newton, James Clear Maxwell, Albert Einstein e os quatro maxwellianos: Heinrich Rudoph Hertz, George Francis FitzGerald, Oliver Lodge e Oliver Heaviside.

Figure 1:Isaac Newton, James Clear Maxwell, Albert Einstein e os quatro maxwellianos: Heinrich Rudoph Hertz, George Francis FitzGerald, Oliver Lodge e Oliver Heaviside.

Um breve olhar historiográfico [1]

As equações e sua evolução

As equações de Maxwell quaterniônicas
B=V⋅∇AS⋅∇A=0induc¸a˜o magneˊticaE=V⋅GB−A˙−∇ΨForc¸a eletromotrizF=V⋅CB+eE−m∇ΩForc¸a MecaˆnicaB=H+4πJmagnetizac¸a˜o4πC=V⋅∇HCorrente EleˊtricaK=CELei de OhmD=14πKEDeslocamento EleˊtricoC=K+D˙Corrente totalB=μHmagnetizac¸a˜oe=S⋅∇Ddensidade eleˊtricam=S⋅∇Jdensidade magneˊticaH=−∇Ωmagnetizac¸a˜o\begin{aligned} \mathfrak{B} &= V\cdot \nabla \mathfrak{A} &\\ S \cdot \nabla \mathfrak{A} &= 0 \quad &\textbf{indução magnética} \\ \mathfrak{E} &= V\cdot \mathfrak{GB} - \mathfrak{\dot A} - \nabla\Psi \quad &\textbf{Força eletromotriz} \\ \mathfrak{F} &= V\cdot \mathfrak{CB} + e \mathfrak{E} - m\nabla \Omega &\textbf{Força Mecânica} \\ \mathfrak{B} &= \mathfrak{H} + 4\pi \mathfrak{J} &\textbf{magnetização} \\ 4 \pi \mathfrak{C} &= V\cdot \nabla \mathfrak{H} &\textbf{Corrente Elétrica} \\ \mathfrak{K}&= C \mathfrak{E}&\textbf{Lei de Ohm} \\ \mathfrak{D}&= \frac{1}{4\pi} K \mathfrak{E}&\textbf{Deslocamento Elétrico} \\ \mathfrak{C}&= \mathfrak{K} + \mathfrak{\dot D}&\textbf{Corrente total} \\ \mathfrak{B}&= \mu \mathfrak{H}&\textbf{magnetização} \\ e &= S\cdot \nabla \mathfrak{D}&\textbf{densidade elétrica} \\ m &= S\cdot \nabla \mathfrak{J}&\textbf{densidade magnética} \\ \mathfrak{H}&= -\nabla \Omega &\textbf{magnetização} \\ \end{aligned}
(1)
Maxwell-Heaviside
∇⋅E=ρϵ0∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\begin{aligned} \nabla \cdot \mathfrak{E} &=& \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathfrak{B} &=& 0 \\ \nabla \times \mathfrak{E} &=& -\frac{\partial \mathfrak{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathfrak{B} &=& \mu_0 \mathfrak{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathfrak{E}}{\partial t} \end{aligned}
(2)
Formulação Covariante
Fμν=∂[μ.Aν]∂μFμν=Jν∂μ(εμνρσFρσ)=0\begin{aligned} F_{\mu\nu} &=& \partial_{[\mu.}A_{\nu]} \\ \partial_\mu F^{\mu\nu} &=& J^\nu \\ \partial_\mu (\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma}) &=& 0 \end{aligned}
(3)
Formas Diferenciais
dF=0d∗F=J\begin{aligned} &dF = 0 \\ &d{*F} = J \end{aligned}
(4)
Yang-Mills
LYM=−14FμνaFaμν\mathcal{L}_{\text{YM}} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu}_a
(5)
Modelo Padrão das Partículas Elementares
LSM=Lgauge+Lfermions+LHiggs+LYukawa\mathcal{L}_{\text{SM}} = \mathcal{L}_{\text{gauge}} + \mathcal{L}_{\text{fermions}} + \mathcal{L}_{\text{Higgs}} + \mathcal{L}_{\text{Yukawa}}
(6)
Lgauge=−14GμνaGaμν−14WμνiWiμν−14BμνBμνLfermions=∑gerac¸o˜esψˉiiγμDμψiLHiggs=(Dμϕ)†(Dμϕ)−V(ϕ)LYukawa=−yijψˉiϕψj+h.c.\begin{aligned} \mathcal{L}_{\text{gauge}} &= -\frac{1}{4} G_{\mu\nu}^a G^{\mu\nu}_a - \frac{1}{4} W_{\mu\nu}^i W^{\mu\nu}_i - \frac{1}{4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} \\ \mathcal{L}_{\text{fermions}} &= \sum_{\text{gerações}} \bar{\psi}_i i \gamma^\mu D_\mu \psi_i \\ \mathcal{L}_{\text{Higgs}} &= (D_\mu \phi)^\dagger (D^\mu \phi) - V(\phi) \\ \mathcal{L}_{\text{Yukawa}} &= - y_{ij} \bar{\psi}_i \phi \psi_j + \text{h.c.} \end{aligned}
(7)
Footnotes

  1. Baseado em The Long Road to Maxwell’s Equations

    ↩
Frontmatter
Links Úteis
Tópicos
Preliminares Matemáticas