Distribuições de Probabilidade

Capítulo 03: Conceitos Fundamentais

Este capítulo apresenta os conceitos essenciais que servem como base matemática para o estudo das distribuições de probabilidade, integrais especiais e métodos estatísticos aplicados à física e outras áreas da ciência.

Conceitos Fundamentais

Uma distribuição de probabilidade descreve como a probabilidade é distribuída entre os possíveis valores de uma variável aleatória. Entre as propriedades básicas estão:

• Não-negatividade: \(P(x) \geq 0\)

• Normalização: \(\sum_x P(x) = 1\) ou \(\int P(x) dx = 1\)

• Esperança: \(\mathbb{E}[X] = \sum_x x P(x)\)

• Variância: \(\mathbb{V}[X] = \mathbb{E}[(X - \mu)^2]\)

Distribuições Discretas e Contínuas

Distribuição Binomial

Modelo para o número de sucessos em \(n\) ensaios de Bernoulli:

\[P(k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}\]

Distribuição de Poisson

Limite da binomial para \(n \to \infty\) e \(p \to 0\) com \(\lambda = np\) fixo:

\[P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]

Distribuição Normal (Gaussiana)

Distribuição contínua simétrica em torno da média \(\mu\):

\[P(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\]

O Teorema Central do Limite

:::{admonition} Teorema Central do Limite Se \(X_i\) são variáveis aleatórias i.i.d. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), então:

\[\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, \sigma^2)\]

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Este teorema explica a ubiquidade da distribuição normal em fenômenos naturais: a soma de muitas pequenas contribuições aleatórias tende a uma distribuição gaussiana.