Conceitos Fundamentais:#
Teoria de Conjuntos, Medidas e Integração#
Definition 2
Uma topologia em um conjunto \(X\) é uma coleção \(\mathcal{T} \subseteq 2^X\) de subconjuntos de \(X\), chamados de abertos, tal que:
\(\emptyset, X \in \mathcal{T}\);
A união arbitrária de conjuntos em \(\mathcal{T}\) pertence a \(\mathcal{T}\);
A interseção finita de conjuntos em \(\mathcal{T}\) também pertence a \(\mathcal{T}\).
Definition 3
Uma \(\sigma\)-álgebra sobre um conjunto \(X\) é uma coleção \(\mathcal{F} \subseteq 2^X\) tal que:
\(X \in \mathcal{F}\);
Se \(A \in \mathcal{F}\), então \(A^c \in \mathcal{F}\);
Se \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}\), então \(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{F}\).
Definition 4 (Medida de Integração)
Uma medida de integração é uma função \(\mu\) que associa a cada conjunto mensurável um número real não-negativo, satisfazendo:
\(\mu(\emptyset) = 0\)
\(\sigma\)-aditividade: Para qualquer sequência de conjuntos disjuntos \(\{A_i\}_{i=1}^\infty\), tem-se \(\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)\)
Definition 5 (Integração de Lebesgue)
A integração de Lebesgue é uma generalização da integral de Riemann que permite integrar uma classe mais ampla de funções. Para uma função mensurável \(f\) em um espaço de medida \((X, \mathcal{A}, \mu)\), a integral de Lebesgue é construída através da aproximação por funções simples.
Definition 6 (Espaço Amostral)
O espaço amostral \(\Omega\) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Cada elemento \(\omega \in \Omega\) é chamado de resultado elementar.
Definition 7 (Variável Aleatória)
Uma variável aleatória \(X\) é uma função mensurável \(X: \Omega \to \mathbb{R}\) que associa a cada resultado elementar \(\omega \in \Omega\) um número real.
Definition 8 (Medida de Probabilidade)
Uma medida de probabilidade \(P\) é uma medida de integração com \(P(\Omega) = 1\). Satisfaz:
\(P(A) \geq 0\) para todo \(A \in \mathcal{F}\)
\(P(\Omega) = 1\)
\(\sigma\)-aditividade
Definition 9 (Distribuição de Probabilidade (Discreta))
Para uma variável aleatória discreta \(X\), a distribuição de probabilidade é dada pela função \(p_X(x) = P(X = x)\) que satisfaz:
\(p_X(x) \geq 0\) para todo \(x\)
\(\sum_x p_X(x) = 1\)
Definition 10 (Função de Distribuição de Probabilidade)
A função de distribuição (CDF) de uma variável aleatória \(X\) é definida como: $\( F_X(x) = P(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R} \)$ Satisfaz:
\(\lim_{x\to-\infty} F_X(x) = 0\)
\(\lim_{x\to+\infty} F_X(x) = 1\)
Monotonicidade não-decrescente
Definition 11 (Axiomas de Kolmogorov)
Os axiomas de probabilidade de Kolmogorov são:
\(P(A) \geq 0\) para todo evento \(A\)
\(P(\Omega) = 1\)
Para eventos mutuamente exclusivos \(\{A_i\}_{i=1}^\infty\), \(P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)\)
Definition 12 (Teorema Central do Limite)
Sejam \(X_1, X_2, \ldots\) variáveis aleatórias i.i.d. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2 < \infty\). Então: $\( \frac{\sqrt{n}}{\sigma}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \mu\right) \xrightarrow{d} N(0,1) \)\( onde \)\xrightarrow{d}$ denota convergência em distribuição.
Definition 13 (Momentos)
O \(k\)-ésimo momento de uma variável aleatória \(X\) é definido como: $\( \mu_k = E[X^k] \)\( O **\)k\(-ésimo momento central** é: \)\( \mu'_k = E[(X - E[X])^k] \)$
Definition 14 (Função Geradora de Momentos)
A função geradora de momentos de \(X\) é: $\( M_X(t) = E[e^{tX}] \)\( desde que a esperança exista para \)t$ em algum intervalo aberto contendo zero.
Definition 15 (Função Característica)
A função característica de \(X\) é: $\( \phi_X(t) = E[e^{itX}] \)\( onde \)i$ é a unidade imaginária. Existe para toda variável aleatória.
Definition 16 (Paradoxo de Bertrand)
O paradoxo de Bertrand ilustra que a probabilidade de uma corda aleatória em um círculo ser maior que o lado do triângulo equilátero inscrito pode ter diferentes valores (1/2, 1/3 ou 1/4) dependendo do método de seleção da “corda aleatória”.