A Integral Gaussiana#
Cálculo da Integral#
A integral da função gaussiana é um resultado fundamental:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\]
Como a primitiva de \(e^{-x^2}\) não é elementar, o método de resolução envolve a transformação em coordenadas polares.
Método da Integral Dupla#
Considere:
\[I = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx\,dy\]
Em coordenadas polares:
\[I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\infty} e^{-r^2} r\,dr\]
A substituição \(u = r^2 \Rightarrow du = 2r\,dr\) leva a:
\[I = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-u} du = \pi\]
Portanto:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\]
Elemento de Volume e Métrica#
Em coordenadas cartesianas:
\[dA = dx\,dy\]
Em coordenadas polares, o elemento de área envolve o determinante da métrica:
\[dA = \sqrt{g}\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta\]
Aqui, \(g = \det \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix} = r^2\), então \(\sqrt{g} = r\).
:::{note} Esse método será estendido mais adiante para o caso de \(n\) dimensões. :::