A Função Gama#
Histórico e Motivação#
A função Gama foi introduzida por Leonhard Euler no século XVIII como uma generalização do fatorial para números reais:
\[\Gamma(n) = \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} dx\]
Essa fórmula coincide com o fatorial para inteiros positivos:
\[\Gamma(n) = (n-1)! \quad \text{para } n \in \mathbb{N}\]
Propriedades da Função Gama#
Propriedade Recursiva#
\[\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)\]
Valor em 1/2#
\[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\]
Continuação Analítica#
A função Gama é meromorfa no plano complexo, com polos simples nos inteiros não positivos.
Relação com a Integral Gaussiana#
A integral gaussiana pode ser escrita como:
\[\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\]
Mais geralmente:
\[\int_0^{\infty} x^{s-1} e^{-\lambda x^2} dx = \frac{1}{2} \lambda^{-s/2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\]
Aplicações#
A função Gama aparece em:
Estatística (distribuições Gama e Qui-quadrado)
Física (modelagem de decaimentos, integrais de caminho)
Cálculo de volumes de hiperesferas (ver próxima seção)
:::{important} A função Gama é essencial para estender muitos resultados da análise real para domínios mais amplos. :::