Extensões da Integral Gaussiana

Extensões da Integral Gaussiana#

Integral com Termo Linear#

Consideremos a integral

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2 + bx} dx\]

Completa-se o quadrado:

\[-ax^2 + bx = -a \left( x^2 - \frac{b}{a}x \right) = -a \left( x - \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{b^2}{4a}\]

Logo:

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2 + bx} dx = e^{\frac{b^2}{4a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(x - \frac{b}{2a}\right)^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}}\]

Integral com Termo Constante#

Para:

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2 + bx + c} dx\]

O termo constante \(c\) pode ser fatorado:

\[= e^c \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2 + bx} dx = e^{c + \frac{b^2}{4a}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}\]

Aplicações#

Essas integrais são comuns em:

  • Mecânica estatística (funções de partição)

  • Teoria quântica de campos (ações quadráticas)

  • Processos estocásticos (funções características)

:::{note} As extensões da integral gaussiana também servem como base para o método de Laplace e a aproximação de integrandos oscilatórios. :::

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