Aproximação de Stirling#
A fórmula de Stirling fornece uma estimativa assintótica para o fatorial, útil para grandes valores de \(n\):
\[n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\]
Em termos da função Gama:
\[\Gamma(n+1) \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\]
Dedução (esboço)#
A aproximação pode ser obtida a partir de métodos do tipo Laplace, aplicando a expansão da função logarítmica:
\[\log n! = \sum_{k=1}^n \log k \approx \int_1^n \log x\,dx = n \log n - n + 1\]
Refinando essa aproximação e aplicando o método de Laplace à integral de Euler para \(\Gamma(n+1)\):
\[\Gamma(n+1) = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\]
Aplicações#
A fórmula de Stirling é amplamente usada para:
Estimativas de crescimento assintótico
Cálculo aproximado de probabilidades (ex: binomial, Poisson)
Entropia e informação (teoria da informação)
Análise combinatória
:::{tip} Versões refinadas incluem termos corretivos como:
\[n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \cdots \right)\]
:::